Når lokale utfordringer bremser hele simuleringen
Mange fysiske modeller beskrives med partielle differensialligninger. Når disse diskretiseres i rom og tid, oppstår store ikke-lineære ligningssystemer som gjerne løses med Newtons metode. Metoden kan konvergere svært raskt nær løsningen, men sterke ikke-lineariteter kan gjøre det vanskelig å komme dit. Et lite område i modellen kan begrense oppdateringen for hele systemet og føre til mange iterasjoner, gjentatte tidsstegskutt eller manglende konvergens.
Ikke-lineær prekondisjonering håndterer slike vanskeligheter ved å omforme ligningssystemet eller bruke lokale ikke-lineære løsninger til å forbedre den globale iterasjonen. Målet er å redusere virkningen av de mest krevende ikke-linearitetene, slik at løseren kan gjøre større og mer effektive fremskritt mot løsningen.
Hva kan vi hjelpe med?
- Analysere konvergensproblemer: Undersøke hvilke deler av modellen, ligningssystemet eller løsningsalgoritmen som begrenser fremdriften.
- Utvikle og tilpasse løsningsmetoder: Utforme ikke-lineære prekondisjonerere og kombinere dem med Newtons metode, relaksasjon og adaptiv tidssteging.
- Integrere metoder i simulatorer: Tilpasse algoritmene til simulatorens diskretisering, koblede fysikk og programvarestruktur.
- Evaluere robusthet og ytelse: Måle samlet beregningstid, konvergens og parallell skalerbarhet på representative modeller, og vurdere om gevinsten oppveier kostnaden ved ekstra lokale løsninger.
Metoder og numerisk ekspertise
Vi arbeider med ikke-lineær prekondisjonering og domenedekomponering, der et stort problem deles i mindre delproblemer. Disse kan løses lokalt, ofte parallelt, før resultatene kombineres i en global iterasjon. Inndelingen kan følge geografiske delområder, ulike fysiske prosesser eller grupper av variable.
Ved venstreprekondisjonering anvendes Newtons metode på et omformet residualsystem. Ved høyreprekondisjonering inngår en ikke-lineær avbildning av variablene. En beslektet og praktisk tilnærming er å bruke lokale ikke-lineære løsninger til å forbedre tilstanden før et globalt Newton-steg. Vi har ekspertise innen Newton–Schwarz-metoder og beslektede tilnærminger, blant annet ASPEN, MSPIN, RASPIN og NEPIN.
Effekten avhenger av hvordan delproblemene velges og kobles sammen, hvor nøyaktig de løses, og hvordan metoden samvirker med den globale løseren. Vi vurderer derfor ikke-lineær prekondisjonering i sammenheng med lineære løsere, konvergenskriterier, relaksasjon og tidsstegskontroll.
Særlig relevant for strømning i porøse medier
Vår ekspertise er særlig knyttet til flerfase- og flerkomponentstrømning i porøse medier. Her kan store kontraster i materialegenskaper, skarpe fronter, faseoverganger, komplekse grid og sterk kobling mellom ligningene gjøre systemene vanskelige å løse. Endringer i brønnbetingelser og driftsstrategier kan gi ytterligere utfordringer.
Slike problemer oppstår blant annet i reservoarsimulering og simulering av CO₂-lagring. Gjennom metode- og simulatorutvikling undersøker vi hvordan lokale ikke-lineære løsninger kan gjøre simuleringene mer robuste og redusere behovet for kostbare globale iterasjoner og tidsstegskutt.
Vil du samarbeide med oss?
Utvikler dere en simulator, eller opplever dere at krevende modeller gir langsom eller ustabil konvergens? Ta kontakt med vår forskningsgruppe for Anvendt beregningsvitenskap for å diskutere hvordan vi kan samarbeide om analyse, metodeutvikling og implementering.