Når grid og materialegenskaper ikke følger hverandre
Elliptiske operatorer inngår i modeller for blant annet strømning i porøse medier, varmeledning, diffusjon og elastisk deformasjon. Et sentralt eksempel er operatoren ∇ · (K∇u), der u kan være trykk eller temperatur, og K beskriver materialets evne til å lede strømning eller varme. Egenskapene kan variere i rommet og være forskjellige i ulike retninger.
Enkle topunkts fluksapproksimasjoner (TPFA) er effektive og mye brukt, men er bare konsistente når gridet oppfyller bestemte ortogonalitetskrav i forhold til materialtensoren. På skjeve grid eller ved anisotropi kan disse kravene være brutt. Da kan beregnede trykk, flukser og strømningsbaner få systematiske feil som ikke nødvendigvis forsvinner ved gridforfining.
Vi utvikler og analyserer diskretiseringer som håndterer mer generelle grid og materialegenskaper. Arbeidet kombinerer matematisk analyse, praktisk metodeutvikling og implementering i simulatorer.
Hva kan vi hjelpe med?
- Undersøke diskretiseringsfeil: Analysere hvordan gridgeometri, anisotropi og materialkontraster påvirker beregnede felt og flukser.
- Velge og utvikle metoder: Tilpasse diskretiseringen til modellens fysikk, grid og krav til nøyaktighet, lokal bevaring og robusthet.
- Forbedre eksisterende simulatorer: Implementere konsistente metoder og tilpasse dem til ikke-lineære og koblede modeller.
- Vurdere numeriske egenskaper: Undersøke konsistens, stabilitet og monotonitet, samt konsekvensene for ligningssystemer og løsningsalgoritmer.
- Verifisere og sammenligne: Teste konvergens, gridorienteringsfeil og beregningskostnad på kontrollerte testproblemer og representative modeller.
Vår metodekompetanse
Vi har bred erfaring med konsistente diskretiseringer på polygon- og polyedergrid, også for sterkt heterogene og anisotrope medier. Ekspertisen omfatter:
- Blandede hybride endelig-element-metoder (MHFE): Beskriver både primærvariable, som trykk, og tilhørende flukser. Hybridisering gjør det mulig å eliminere lokale ukjente og formulere et globalt system for koblingen mellom elementene.
- Mimetiske differansemetoder (MFD): Etterligner sentrale egenskaper ved de kontinuerlige differensialoperatorene, blant annet bevaring og samspillet mellom gradient og divergens.
- Virtuelle elementmetoder (VEM): Gir fleksible diskretiseringer på polygoner og polyedre uten at alle basisfunksjonene må konstrueres eksplisitt inne i elementene.
- Flerpunkts fluks- og spenningsapproksimasjoner (MPFA og MPSA): Bruker informasjon fra flere naboceller for å beregne henholdsvis flukser og mekaniske krefter på generelle grid.
- Ikke-lineære endelig-volum-metoder (NFVM): Kombinerer konsistente fluksapproksimasjoner med løsningsavhengige vekter for å oppnå monotonitet eller bevare diskrete maksimumsprinsipper under relevante forutsetninger.
- Vertex approximate gradient-metoder (VAG): Bruker frihetsgrader i både gridhjørner og cellesentre. Celleukjente kan elimineres lokalt ved oppbygging av det reduserte ligningssystemet.
Konsistens er nødvendig, men ikke tilstrekkelig
En konsistent metode gjengir den kontinuerlige operatoren med en feil som avtar ved gridforfining, under metodens forutsetninger. Dette er en viktig del av grunnlaget for konvergens, men garanterer ikke alene stabilitet eller fysisk rimelige løsninger.
Ved sterke materialkontraster og anisotropi kan også konsistente lineære metoder gi uønskede over- og undersvingninger. Det kan derfor være nødvendig med ikke-lineære diskretiseringer som ivaretar monotonitet eller maksimumsprinsipper. Vi vurderer disse egenskapene sammen med lokal bevaring, nøyaktighet og beregningskostnad.
Fra porøse medier til koblede modeller
En stor del av erfaringen vår kommer fra strømning i porøse medier. Geologiske modeller kombinerer ofte store permeabilitetskontraster, anisotropi og komplekse grid tilpasset lagdeling og forkastninger. Her er pålitelig beregning av trykk og flukser avgjørende for den videre transportberegningen.
Vi arbeider også med diskretisering av mekanikk og kobling mellom strømning og deformasjon. Et sentralt spørsmål er hvordan de ulike diskretiseringene kan fungere sammen på samme grid, samtidig som de bevarer relevante fysiske og numeriske egenskaper.
Utprøving og implementering i MRST
Metodefamiliene er representert i vår åpne programvare MRST – MATLAB Reservoir Simulation Toolbox. Dette gir et felles grunnlag for å sammenligne diskretiseringer på de samme gridene og modellene, undersøke feilkilder og prøve ut nye metoder før videre integrasjon i simulatorer.
Vil du samarbeide med oss?
Er dere usikre på hvordan gridet eller materialegenskapene påvirker simuleringsresultatene, eller trenger dere en mer robust diskretisering? Ta kontakt med vår forskningsgruppe for Anvendt beregningsvitenskap for å diskutere analyse, metodeutvikling og implementering.